Imaginación
Nota escrita por:
La imaginacion y la facultad
En estos dias volvio a mi mente una vieja discursion que manteniamos entre algunos compañeros: la de si la facultad nos enseña(o nos induce) un modo de pensar que afecta a nuestra creatividad.
Hay una cuestion mas alla de la pura rutina de algunas materias, cuyas practicas consisten en hacer una larga lista de ejercicios de cada tipo posible. Lo que yo pienso es que hay una restriccion mas poderosa, en un nivel mas profundo, que no nos deja pensar fuera de ciertos parametros "estandar". Alguna gente propuso que deberia haber libros para cada materia en los cuales no haya demostraciones, solo enunciados. De esta forma uno podría ir desarrollando una teoría sin seguir exactamente las mismas ideas del que la creó. Ya que este a su vez las habia sacado de su antecesor y así sucesivamente nos podriamos remontar a la epoca de los griegos.
Concretamente hace unos dias al salir de un parcial y comentando con mis amigos como nos habia ido nos dimos cuenta que habia un ejercicio que habiamos hecho todos de exactamente la misma forma. En ese momento aparecen dos alternativas naturales: Donde estaba implicita esa demostración?
Puede ser que estuviera implicita en el enunciado. Pero tambien puede ser que nuestros pensamientos esten "conectados"? Y en este ultimo caso por que estan conectados?, es porque nacimos asi o es que todas las materias que compartimos fueron moldeando a nuestro cerebro con la misma matriz y de esa forma actuen en general de la misma manera?. Quedan planteadas un monton de preguntas y ninguna respuesta. En esta columna voy a intentar argumentar a favor y en contra de estas posturas.Pero antes algunos ejemplos historicos:
1) La historia de Ramanujan: (Wikipedia)
Srinivāsa Aaiyangār Rāmānujan, entamil: ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன், (Erode22 de diciembrede1887-Kumbakonam26 de abrilde1920) fue un matemáticoindiomuy enigmático. De familia humilde, a los siete años asistió a una escuela pública gracias a una beca. Recitaba a sus compañeros de clase fórmulas matemáticas y cifras deπ.A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6.000 teoremas conocidos, sin demostraciones. Ésa fue su formación matemática básica. En 1903 y 1907 suspendió los exámenes universitarios porque sólo se dedicaba a sus diversiones matemáticas.
En 1912 fue animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo Godfrey Harold Hardy, de Cambridge. Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con su amigo John Edensor Littlewood (v.) a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas de Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su propia escala de valoración para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo. Algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron, pero escribió ...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Invitado por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años después.
Hardy escribió de Rāmānujan:
"Los límites de sus conocimientos eran sorprendentes como su profundidad. Era un hombre capaz de resolver ecuaciones modulares y teoremas ...de un modo jamás visto antes, su dominio de las fracciones continuas era...superior a la de todo otro matemático del mundo; ha encontrado por sí solo la ecuación funcional de la función zeta y los términos más importantes de la teoría analítica de los números; sin embargo no había oído hablar jamás de una función doblemente periódica o del Teorema de Cauchy y poseía una vaga idea de lo que era una función de variable compleja..."
Lo principal de los trabajos de Ramanujan está en sus cuadernos, escritos por él en nomenclatura y notación particular, con ausencia de demostraciones, lo que ha provocado una hercúlea tarea de desciframiento y reconstrucción, aún no concluida. Fascinado por el número π, desarrolló potentes algoritmos para calcularlo.
Rāmānujan trabajó principalmente en la teoría analítica de los números y devino célebre por sus numerosas fórmulas sumatorias referidas a las constantes tales como π y la base natural de los logaritmos, los números primos y la función de fracción de un entero obtenida junto a Godfrey Harold Hardy.
2) Programas que hacen demostraciones: (Wikipedia)
Las técnicas de demostración automática deteoremasconsisten en aplicar métodos computacionales para demostrar teoremas. Es decir, demostración de teoremas con un ordenador. Estas técnicas son especialmente viables como herramienta para demostrar teoremas degeometría plana.En líneas generales, el procedimiento es el siguiente:
El teorema a demostrar se traduce en términos algebraicos: tanto las hipótesis como la tesis se expresan como condiciones del tipo
y 
respectivamente (Py Q son polinomios de varias variables). La veracidad del teorema es entonces equivalente a que
esté en el ideal generado por 
(lo que equivale a que la anulación de en un punto implique la anulación de en ese punto). El problema de pertenencia de un polinomio a un ideal es un problema clásico en álgebra computacional; una técnica habitual de resolución de este problema es el cálculo de una base de Gröbner adecuada(Esto lo hace el Mathematica y similares).
Este método de demostración tiene el inconveniente de que la complejidad computacional del problema de pertenencia es elevada(Tarda mucho tiempo).
Un programa que hace esto es [javascript:void(0);/*1213971752413*/ Snark]
3)Geometrias no euclideas:(Wikipedia)
Historia:
Immanuel Kant fue el primero en concebir la posibilidad de una geometría diferente de la geometría clásica desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos. En su primera obra publicada, Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben (1746), Kant considera espacios de más de tres dimensiones y afirma:
Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevada que un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría.... Si es posible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces.Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llamaría geometrías euclídeas de dimensión mayor que 3.
Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías coherentes diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).
Geometría hiperbólica:
A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometría hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo tenían ángulos que juntos sumaban menos de 180º (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º).
La naturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también).
Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.
Geometría riemanniana:
A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio se conoce hoy en día como geometrías riemannianas.
Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea es un caso particular de geometría riemanninana, caracterizada por la anulación del tensor de curvatura (al menos localmente).
Geometría del espacio-tiempo y teoría de la relatividad:
Basándose en la ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la Relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas.
Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad observada, dando cumplimiento así a la fantástica visión de Gauss: que la Geometría desentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio, y que su estructura geométrica global tiene curvatura.
Conclusiones:
Lo que puse antes muestra diversos aspectos de la relacion entre imaginacion e intuicion y una educacion formal. Solo para impresionar podriamos ver algunas de las formulas que desarrollo Ramanujan: Ejemplos En cuanto a las computadoras cuenta el rumor que hubo un programa que obtuvo una demostracion muy original. Estas historia aparece en "Gödel, Escher, Bach" de Douglas Hofstadter (Editorial Metatemas). Aparentemente lo que sucedio es que un tal David Gelernter hizo en los 60's un programa de estos y le dio para demostrar un teorema basico de geometria: Teorema:En un triangulo isosceles los angulos que forman los dos lados iguales con el tercero son iguales. La demostracion clasica consiste en trazar la altura correspondiente a la base y observar que quedan dos triangulos congruentes (Pues tienen los 3 lados iguales). Y de aca concluir que los angulos de estos triangulos son iguales. Que es lo que se queria demostrar. Dibujo La computadora tuvo la original idea de considerar al triangulo original como 2 triangulos distintos y aplicar el criterio de congruencia de triangulos antes citado, obteniendo el resultado buscado sin apelar a construcciones auxiliares. De todas formas no es un logro tan original ya que Pappus (un griego 300 A.C.) ya conocia esa demostracion. La controversia surge cuando uno se pregunta quien hizo esta demostracion, el programador o la computadora.